Monty Hall paradoksas

Monty Hall paradoksas yra toksai biškelį sveikam protui prieštaraujantis paradoksas, dėl kurio žmogus, jei imsis maginių veiksmų, tai gaus gerokai padidintą tikimybę išlošti spėliojimo žaidime. Paradoksą šis tikimybių teorijos uždavinys gavo nuo tokio Monty Hall, kuris buvo TV laidų su spėliojimais vedančiuoju.

Visa paradokso esmė yra tokia:

• Žaidėjas ant scenos mato tris didžiules dėžes. Vienoje yra mašina, o kitose dviejose - po ožį, bet žaidėjas nežino, kurioje dėžėje yra kas.
• Vedantysis siūlo jam pasirinkti vieną dėžę, kad jis pasakytų.
• Žaidėjas pasirenka dėžę, kurioje, jo manymu, yra mašina.
• Vedantysis tada pasiūlo sandėrį - jis atidarysiąs vieną dėžę savo nuožiūra. Žaidėjas sutinka.
• Vedantysis atidaro vieną iš kitų (žaidėjo nepasirinktų) dėžių. Joje yra ožys.
• Vedantysis pasiūlo žaidėjui arba laikytis savo seno spėjimo, arba spėti iš naujo.

Dabar paradoksas yra toksai:

• Jei žaidėjas laikosi savo pirmojo spėjimo, jo laimėjimo tikimybė tėra 1/3
• Jei žaidėjas renkasi iš naujo (netgi jei jis pasirinks tą pat dėžę), jo laimėjimo tikimybė yra 2/3

Kaip sako, nuo šitos nesąmonės apduję matematikai netgi eksperimentus rengė, ir paaiškėjo, kad akurat - taip ir yra. Jei spėji antrą kartą, tai laimėjimo tikimybė per visą žaidimą yra 2/3.

Dar geresnė dalis yra ta, kad jei antrą spėliojimų dalį imsim, tai jos tikimybė yra 1/2, o pirmąją dalį imant - jos tikimybė yra 1/3, tai du spėjimus sudėjus, tikimybė gaunasi 3/6+2/6=5/6, kas yra dar daugiau. Bet čia jau paradoksas tame, kad kadangi vedantysis neduoda pasirinkti žaidėjui, per pirmą spėjimą, tai žaidėjas išties tegauna vieną spėjimą. Bet tas spėjimas visvien gaunasi ne 1/2, o daugiau - 2/3.

Žodžiu, gaunasi taip, kad vien dėl kažkokios tai keistos magijos, kad renkamasi antrą kartą, tikimybė išlošti padidėja.

Truputis istorijos

Monty Hall tipo paradoksą 1959 metais pirmas aprašė Martin Gardner žurnale Scientific American, o vėliau šitas paradoksas ne kartą buvo nargrinėtas kituose leidiniuose, tačiau neišlipant iš gan siauros visokių moksliukų aplinkos, todėl nesusilaukdavo per daug didelių ginčų. Žodžiu, buvo vienas iš tokių gan siauruose sluoksniuose žinomų matematinių paradoksų, pvz., panašiai, kaip koksai Banacho-Tarskio paradoksas.

Situacija pasikeitė 1990 metais, kai kažkas iš skaitytojų atsiuntė klausimą į populiarų žurnalą "Parade". Klausimas pakliuvo į skyrelį "Ask Marilyn", kurį vedė anokia Marilyn vos Savant, anuomet pagarsėjusi, kaip per kažkokius neaiškius testus surinkusi 228 balų IQ vertinimą, t.y., didesnį, negu bet kas kitas pasaulyje. Taigi, nors pati IQ teorija, švelniai tariant, smarkiai neša šarlatanizmais, moteriškė buvo aiškiai nepėsčia ir kaip reikalas protinga - viena iš legendų sako, kad dar būdama 10 metų amžiaus sugebėjo perskaityti visą daugiatomę Encyclopedia Britannica.

Taigi, Marilyn vos Savant atsakė į klausimą, kad gavus antrą pasirinkimą, reikia pakartotinai rinktis, o ne pasilikti prie senojo. Ir štai čia prasidėjo milžiniškas fleimas - į žurnalą plūstelėjo užsitrigerinusių vyrų laiškai, kur anie masiškai reagavo - "nu šitą kartą tai jau ta boba tikrai nusišnekėjo". Tarp parašiusiųjų su pasipiktinimais buvo daugiau kaip 1000 žmonių, turinčių mokslų daktaro laipsnį, jau nekalbant apie maždaug dešimt kartų didesnį šiaip visokių rašinėtojų kiekį.

Taigi, buvo atrastas dar vienas paradoksas: jei teisingas atsakymas yra netrivialus ir paradoksalus, jis gali būti masiškai nepriimtas ir neigiamas daugybės savo teisumu įsitikinusių prietrankų. Savo veikimu tai primena Daningo-Kriūgerio efektą, tik skiriasi tuo, kad čia teisingu atsakymu piktinasi absoliuti dauguma žmonių, iš kurių dalis gali būti visai išsilavinę.

Po Marilyn vos Savant atsakymo buvo daug diskusijų, kurias ilgainiui nuslopino matematikai, pradėję daryti netgi ir demonstracines simuliacijas su puodeliais, po kuriais paslėptas koks nors daiktas, o taip pat ir su kompiuterinėmis simuliacijomis. Paaiškėjo, kad čia paradoksali realybė - jei pakeiti pasirinkimą, tai tikimybė pataikyti padidėja iki 2/3.