Hilberto paradoksas

Didžiojo viešbučio paradoksas arba Hilberto paradoksas - tai vienas iš daugelio paradoksų, kurie atsiranda, jei tik mes pabandome daryti kokius nors skaičiavimus su begalybe. Tokie paradoksai matematikoje išsprendžiami tik vienu būdu - apribojant ar išvis uždraudžiant bet kuriuos aritmetinius veiksmus su bet kokiu būdu dalyvaujančia begalybe.

Hilberto paradokso esmė ganėtinai paprasta, ir jos klasta yra poravimo funkcijoje, kuri leidžia sudvejinti kokius nors skaičius, t.y., kokių nors dviejų skaičių porą įvardinti, kaip vieną skaičių.

Paradoksą 1925 metais sugalvojo toksai vokiečių matematikas David Hilbert, o paskui pateikė, kaip pasakojimą apie viešbutį, kuris turi begalybę kambarių.

Tarkim, yra viešbutis, o jame yra begalybė kambarių, kurie visi yra užpildyti, t.y., užimti lankytojų. Kitaip tariant, visame viešbutyje yra begalybė kambarių, bet jie visi užimti ir tuščių nėra.

Ir štai atvyko dar vienas lankytojas, kuriam reikia kambario. Ką darom? Ogi imam 1 kambarį ir jo lankytoją perkeliam į 2 kambarį, o antro kambario lankytoją į trečią kambarį, o jo lankytoją į ketvirtą ir taip toliau - visus perkeliam, kol galų gale kambario n+1, kur n=∞, nes begalybė pagal apibrėžimą yra daugiau už bet kokį suskaičiuojamą skaičių. Taigi, gaunasi tuščias kambarys nr.1, netgi kai visi kambariai buvo užimti.

Iš šito paradokso gauname, kad jei galėjome įterpti vieną laisvą kambarį prieš kambarį nr.1, tai galim visiškai analogiškai įterpti ir kambarį prieš kambarį nr.2, ir prieš kambarį nr.3, ir prieš kambarį nr.4, ir taip toliau, ir taip toliau.

Jau iš to seka, kad jei įterpiam tokią seką kambarių, kai tų kambarių yra n=∞, tai įterpiamų kambarių skaičius irgi gaunasi n=∞, kas reiškia, jog svečių padaugėjo 2n=2∞, kas reiškia, kad į begalinį viešbutį, kurio visi kambariai užpildyti, galėjome įterpti dar papildomą begalybę lankytojų. Ir visa tai - nepaisant to, kad jau begalybė kambarių buvo. Taigi, gaunasi, kad begalybę padvigubinus, gaunasi begalybė: ∞=2∞.

Dar toliau tęsdami, galim pastebėti, kad tokį viešbučio užpildymą galim kartoti begalybę kartų, kas reiškia, kad ∞=∞*∞, t.y., begalybė gaunasi lygi begalybei begalybių.

Kiek anksčiau už Hilbertą, 1891 metais Georg Cantor pademonstravo pirmą iš su begalybe susijusių paradoksų, žinomą, kaip Kantoro diagonalinis argumentas, kur irgi rodė, kad begalybė ne tokia jau paprasta, kaip atrodo, nes dvi begalybės gali būti nelygios tarpusavyje ir tų begalybių kiekis gali būti begalinis.