Banacho-Tarskio paradoksas

Banacho-Tarskio paradoksas, dar žinomas, kaip Banach-Tarski paradoksas - tai toksai paradoksas, pagal kurį galima paimti vieną nebegalinio tūrio trimatę figūrą, ją specialiu būdu padalinti į nebegalinį skaičių gabalų, kreivių ir taškų, o tada iš jų surinkti dvi tokio tūrio figūras, kurios neturės jokių tuštumų, bet tūris tai gausis dvigubai didesnis.

Paradoksą 1924 metais sukūrė tokie Stefan Banach ir Alfred Tarski - du lenkų matematikai, kuriems neaišku kas buvo pasidarę, kad jie tokią temą nutarė tyrinėti.

Per maždaug šimtą metų šio paradokso egzistavimo, buvo ne tik įrodyta, kad jis teisingas, bet ir išsiaiškinta, kame tenai esmė - gi esmė yra ta, kad įprastoje geometrijoje, kurioje galimi taškai, tūrio (o galimai ir ploto) sąvoka lieka neapibrėžta, jei tik išlieka tų taškų suskaičiuojamumas. Kitaip tariant, gaunasi taip, kad nors trimatė geometrinė figūra gali turėti visiškai vienareikšmį tūrį, ją skaidant į gabalus, lieka toli gražu neaišku, kokį tie gabalai turi tūrį - nes įprastoje geometrijoje nėra tokios aksiomos, kuri sakytų, kad trimatę figūrą skaidant į dalis, bendra tų dalių tūrių suma nekinta. Nors mūsų intuicija ir sako, kad ta suma nekinta, kol aksioma neįvedama tyčia, tol gaunasi, kad tūris gali kisti.

Savo esme šitas Banacho-Tarskio paradoksas gana juntamai primena teoremą dėl to, kad trikampio kampų suma yra yra lygi 180 laipsnių, kurios niekaip nesigaudavo įrodyti irgi dėl tos priežasties, kad Euklidinėje geometrijoje tiesiog nebuvo atitinkamos aksiomos, iš kurios tokį teiginį gautųsi išvesti.

Beje, kol kas sklando kokie tai gandai, kad matematikams pavyko įrodyti, kad tas Banacho-Tarskio paradoksas gali būti pademonstruotas, suvedus vos į penkias smarkiai komplikuotos fraktalinės formos figūras, bet kad niekur neradom to figūrų atvaizdavimo - matomai gal įslaptintas, kad kas nors nepradėtų kokio nors aukso gabalų šitaip klonuot.